Τρίτη, 18 Μαρτίου 2014

Cyrill Smith-Από το "Ο Χέγκελ, ο Μαρξ και ο διαφορικός λογισμός"

Cyrill Smith
Από το "Ο Χέγκελ, ο Μαρξ και ο διαφορικός λογισμός"
Τα Μαθηματικά Χειρόγραφα του Καρλ Μαρξ
Μτφρ. Σ. Γιανόφσκαγια
Εκδόσεις Γλάρος

1. Το μαθηματικό έργο του Μαρξ


Στον πρόλογο της δεύτερης έκδοσης του Αντί-Ντύρινγκ, ο Έγκελς αναφέρθηκε στα μαθηματικά χειρόγραφα που άφησε ο Μαρξ και τόνισε την εξαιρετική σημασία τους. Παρ' όλα αυτά, τα χειρόγραφα παρέμειναν για πενήντα χρόνια απροσπέλαστα, ώσπου δημοσιεύτηκαν στα 1933 σε ρώσικη μετάφραση. Στα 1968, παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στην πρωτότυπη μορφή τους, στη ρώσικη έκδοση από την οποία μεταφράστηκε αυτός ο τόμος. Ως σήμερα, πολύ λίγη σημασία τους έχει δοθεί.

Πέρα από το γεγονός αυτό, η εκτίμηση του Έγκελς ήταν σωστή. Ο Μαρξ ξόδεψε ένα μεγάλο μέρος από τα τελευταία χρόνια της ζωής του σ' αυτό το έργο, που πρέπει να εξεταστεί όχι ως ένα αξιοπερίεργο γεγονός στην ιστορία των μαθηματικών αλλά ως μια σημαντική συνεισφορά στην ανάπτυξη του διαλεκτικού υλισμού.

Ο Μαρξ δεν ήταν μαθηματικός. Στην πορεία της εργασίας του πάνω στο Κεφάλαιο, αγωνιζόταν διαρκώς να ξεπεράσει τις ελλείψεις γνώσεων σ' αυτό το πεδίο, ώστε να μπορέσει να εφαρμόσει αλγεβρικές μεθόδους στις ποσοτικές πλευρές της πολιτικής οικονομίας. Από τα 1863 όμως, το ενδιαφέρον του στράφηκε στη μελέτη του απειροστικού λογισμού, όχι μόνο ως μια μαθηματικής τεχνικής αλλά από την άποψη της φιλοσοφικής του βάσης. Μέχρι το 1881 είχε ετοιμάσει κιόλας κάποιο σχετικό υλικό, κι αυτό αποτελεί το μεγαλύτερο μέρους τούτου του βιβλίου. 

[...]

Όταν διαβάσαμε το γράμμα του Έγκελς, στο οποίο αναφέρει την πρώτη του αντίδραση στα χειρόγραφα, βρήκαμε το κλειδί της πραγματικής σημασίας τους. Ο Έγκελς σχολιάζει: "Ο γερο-Χέγκελ μάντεψε πολύ σωστα όταν είπε ότι βασική προϋπόθεση της διαφόρισης είναι οι μεταβλητές να είναι υψωμένες σε διαφορετικές δυνάμεις και τουλάχιστον μία απ' αυτές να είναι υψωμένη τουλάχιστο στη...δεύτερη δύναμη." Αφήνοντας για την ώρα κατά μέρος το μαθηματικό περιεχόμενο αυτής της παρατήρησης, διαπιστώνουμε τη σύνδεση της εργασίας του Μαρξ με το σημείο αναφοράς της, το βιβλίο Επιστήμη της Λογικής του Χέγκελ, και ιδιαίτερα το κεφάλαιο πάνω στο Ποσοτικό Άπειρο. Ο Εγκελς ξέρει ότι σ' αυτό αναφέρεται ο Μαρξ, χωρίς να μνημονεύεται το όνομα του Χέγκελ. 

Ξαφνιάζει που οι εκδότες των χειρογράφων, οι οποίοι αναζήτησαν με μεγάλη επιμέλεια όλες τις μαθηματικές αναφορές του Μαρξ, αγνόησαν αυτή τη σίγουρα αλάθητη σύνδεση. Ενώ τα συμπεράσματα του Μαρξ και του Χέγκελ αντανακλούν τη διαμάχη ανάμεσα στον ιδεαλισμό και τον υλισμό, και οι δύο ασχολούνται, φυσικά, με τα ίδια θέματα και αναφέρονται σε πολλούς ίδιους συγγραφείς. Είναι αξιοσημείωτο ότι, ενώ ο Χέγκελ συχνά τονίζει την άποψή του, πως οι μαθηματικές μορφές είναι τελείως ανεπαρκείς για να εκφράσουν φιλοσοφικές ιδέες, δαπανά ωστόσο κάπου το ένα όγδοο από την Επιστήμη της Λογικής στο ζήτημα των μαθηματικών, και το μεγαλύτερο μέρος απ' αυτό στο λογισμό. Ο Μαρξ, από την άλη, δεν υιοθετεί ποτέ τη στάση αποδοκιμασίας του Χέγκελ απέναντι στα μαθηματικά.

[...]

3. Ο Χέγκελ και το άπειρο

[...]

Για τον Καντ, όπως και για όλη την αστική φιλοσοφία πριν από τον Χέγκελ, σκέψη είναι η δραστηριότητα κάθε μεμονωμένου ανθρώπου, του οποίου οι γνώσεις και η δυνατότητα της αντίληψης περιορίζονται από την προσωπική εμπειρία. Αυτά τα "πεπερασμένα όντα" δεν  μπορούν να γνωρίσουν τα πράγματα όπως είναι "καθ' εαυτά" ή τις αλληλοσυνδέσεις μεταξύ ξεχωριστών πραγμάτων. Ερχόμαστε σε επαφή με το απεριόριστο, την ελευθερία, το άπειρο, μόνο όταν υπακούμε στον ηθικό κόμο, και ακόμα αυτό αναφέρεται στην πρόθεση, όχι στις πραγματικές συνέπειες των πράξεων των πεπερασμένων όντων. Το άπειρο είναι και πρέπει πάντα να παραμένει ακατόρθωτο, αυτό που δεν πραγματώνεται ποτέ.

Ο Χέγκελ ξόδεψε ολόκληρη τη ζωή του στη μάχη ενάντια σ' αυτή την αντίληψη και στην έκθεση των συνεπειών της, και μάλιστα με ένα πάθος που σπάνια του αποδίδεται. Γι' αυτόν, τα πεπερασμένα πράγματα που βρίσκουμε στον κόσμο είναι ενωμένα με το άπειρο και η περιορισμένη συνείδηση του μεμονωμένου ανθρώπου είναι στοιχείο του άπειρου Νου ή Πνεύματος. Καταδίκασε εκείνους τους υποκειμενικούς τρόπους σκέψης, που είδαν τον κόσμο απλά ως ένα σύνολο πεπερασμένων πραγμάτων, αποκομμένων μεταξύ τους και από την ολότητά τους.

Μια τέτοια αντίληψη μπορούσε να θεωρεί το άπειρο μόνο ως το "μη-πεπερασμένο", αυτό που βρίσκεται πέρα από τις δυνατότητές μας. Αυτό το "κακό" ή "πλαστό" άπειρο ήταν "ό,τι έπρεπε να υπάρχει και δεν υπάρχει", όπως η κουραστική επανάληψη ενός πεπερασμένου πράγματος μετά από ένα άλλο, που ακολουθείται από ένα κενό "και ούτω κάθε εξής." Αντί για την ολόπλευρη αναγκαιότητα, ο υποκειμενισμός βλέπει μόνο την ατελείωτη αλυσίδα αιτίας και αποτελέσματος, και στην θέση της απεριόριστης ανάπτυξης του ανθρώπινου Πνεύματος γνωρίζει μόνο τις ξεχωριστές εμπειρίες των μεμονωμένων ατόμων.

Ο Σπινόζα είχε αρνηθεί το σχολαστικό "infinitum actu non datur" [δεν υπάρχει πραγματικό άπειρο]. Διαπίστωσε ότι για να ορίσει κάτι, για να το οριοθετήσει, έπρεπε να αρνηθεί καθετί άλλο, και συνεπώς να δει πέρα απ' αυτά τα όρια. Ο Χέγκελ το επικρότησε αυτό, αλλά προχώρησε ένα τεράστιο βήμα πιο πέρα. Η ενότητα του πεπερασμένου και του απείρου δεν ήταν κάτι σταθερό, "αδρανές", αλλά περιείχε "την αρνητική ενότητα του εαυτού του, δηλαδή την υποκειμενικότητα." Αυτό που ο Χέγκελ ονομάζει "Ύπαρξη δι' εαυτή" είναι η άρνηση του απείρου πίσω, μέσα στο πεπερασμένο, δηλαδή η άρνηση της άρνησης, που κάνει το πεπερασμένο μέρος της "αμοιβαίας καθοριστικής σύνδεσης του όλου." Ο Χέγκελ το είδε αυτό ως τη βάση του ιδεαλισμού, "τη θεμελιακή ιδέα της φιλοσοφίας". Το μεμονωμένο πεπερασμένο πράγμα "δεν έχει αληθινή ύπαρξη"· το αρνητικό στοιχείο που βρίσκεται στην καρδιά του είναι "η πηγή κάθε μεταβολής και αυτο-μεταβολής."

[...]

Στην περίπτωση της "κακής απειρίας" της εναλλαγής μιας συγκεκριμένης ποιότητας και της άρνησής της, βρίσκουμε τουλάχιστον το ενδιαφέρον που παρουσιάζει η διαφορά ανάμεσα στους δύο όρους της. Στην απεριόριστη διαδοχή των ποσοτήτων όμως, κάθε όρος είναι ταυτόσημος με τον επόμενό του, αφού η δυνατότητα προσδιορισμού έχει εξαλειφθεί. Αυτή η Ποσοτική Άπειρη Πρόοδος κινείται προς το άπειρο, αλλά δεν φτάνει ποτέ πιο κοντά του, λέει ο  Χέγκελ, "γιατί η διαφορά ανάμεσα στην ποσότητα και το άπειρό της δεν είναι ουσιαστικά ποσοτική διαφορά." Μέσα απ' αυτή τη σχέση μελέτησε ο Χέγκελ το λογισμό.

[...]



4. Ο Μαρξ και ο Έγκελς σχετικά με το άπειρο

[...]

Ο Μαρξ και ο Έγκελς, σαν υλιστές, δεν αποδέχτηκαν βέβαια τον ιδεαλισμό του Χέγκελ. Για ν' ανασκευάσουν όμως το σύστημα του Χέγκελ, στηρίχτηκαν στην ίδια θεώρηση της σχέσης ανάμεσα στο πεπερασμένο και το άπειρο, με τις βαθιά επαναστατικές της συνέπειες. Εκεί που ο Χέγκελ έβλεπε το "Πνεύμα" ως "Άπειρη Ιδέα", ο Μαρξ συνέλαβε την άπειρη εμπειρία της ανθρωπότητας ως την ανώτατη μορφή της άπειρης κίνησης της ύλης. Η ανάπτυξη ανθρώπινων παραγωγικών δυνάμεων υπονοούσε τη συνεχή διείσδυση αυτής της κίνησης σε όλες τις διαρκώς μεταβαλλόμενες μορφές και διασυνδέσεις της.

Η γνώση κάθε μεμονωμένου άντρα ή γυναίκας είναι περιορισμένη, όπως είναι και η γνώση μιας ολόκληρης φυλής, κάθε συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Αλλά στον αγώνα ενάντια στη φύση, κάθε πεπερασμένο πρόσωπο εκφράζει από μόνο του τις απεριόριστες δυνατότητες του ανθρώπινου είδους να κυριαρχήσει πάνω στη φύση και μέσα απ' αυτό, την ολόπλευρη κίνηση της ύλης, της οποίας αποτελεί τμήμα. 

[...]


5. Ο Μαρξ και ο λογισμός

Στο μαθηματικό του έργο ο Μαρξ απηχεί την περιφρόνηση του Χέγκελ για τις άκαρπες προσπάθειες των μαθηματικών να ξεπεράσουν τις αντιφάσεις που ήταν εγγενείς στην κίνηση, τη συνέχεια και το άπειρο. Η στάση του όμως απέναντι στα μαθηματικά ήταν εντελώς αντίθετη. Για τον αντικειμενικό ιδεαλιστή Χέγκελ, τα μαθηματικά, όπως και η φυσική επιστήμη, κατείχαν τα πολύ κατώτερα στάδια στο ξετύλιγμα της Ιδέας. Πίστευε ότι τα μαθηματικά έπρεπε "να απογυμνωθούν από τα όμορφα φτερά τους." "Η αρχή του μεγέθους, της διαφοράς που δεν προσδιορίζεται από την Έννοια, και η αρχή της ισότητας, της αφηρημένης, χωρίς ζωή ενότητας δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν με επιτυχία αυτή την αμιγή ανησυχία της ζωής και την απόλυτη διάκρισή της...Η μαθηματική γνώση...ως εξωτερική δραστηριότητα ανάγει οτιδήποτε αυτο-μεταβάλλεται σε απλή ύλη, έτσι ώστε να του δίνει ένα αδιάφορο, εξωτερικό, χωρίς ζωή περιεχόμενο."

Ο Μαρξ αντίθετα βλέπει ότι οι μαθηματικές αφαιρέσεις, καθαρά τυπικές όπως πρέπει απαραίτητα να εμφανίζονται, περιέχουν γνώσεις για την αυτο-μεταβαλλόμενη ύλη, γνώσεις για γενικευμένες σχέσεις ανάμεσα στα υλικά αντικείμενα, οι οποίες τελικά γίνονται αφηρημένες σε σχέση με την κοινωνική πρακτική και είναι αναγκαίες στην πρακτική.

Ο Χέγκελ και ο Μαρξ ενδιαφέρονται να εκφράσουν την αντίφαση της κίνσης και της αλλαγής, ώστε. όπως λέει ο Χέγκελ, "να λύσουν πραγματικά την αντίφαση που αποκαλύπτεται απ' αυτή τη μέθοδο, αντί να τη δικαιολογήσουν ή να την κουκουλώσουν" (Επιστήμη της Λογικής, σ. 277).

Εκεί που ο Χέγκελ θεωρεί αναγκαίο απλά να εκθέσει τις λαθεμένες μεθόδους σκέψης που τονίζουν αυτές τις ασάφειες, ο Μαρξ αισθάνεται υποχρεωμένος να προχωρήσει βαθύτερα στις ίδιες τις μαθηματικές τεχνικές και να δώσει μια εναλλακτική λύση. Θέλει να έχει τη δυνατότητα να αναπτύξει την παράγωγο dy/dx όχι προσεγγιστικά, αλλά ως έκφραση της πραγματικής μεταβολής της συνάρτησης f(x).

Ο Μαρξ, αντίθετα από τον Χέγκελ, αναφέρεται στο έργο του Ντ' Αλαμπέρ σχετικά μ' αυτό το ζήτημα. Ο Ντ' Αλαμπέρ δεν είχε δώσει λύση στο πρόβλημα, αλλά είχε επιστήσει την προσοχή στην αδυναμία των μαθηματικών μεθόδων της εποχής: στην έλλειψη μιας σαφούς αντίληψης για το όριο. Ο Μαρξ προσπαθεί να δώσει μια απάντηση σ' αυτό με τον τρόπο που συνοψίζουμε παρακάτω χρησιμοποιώντας σύγχρονο συμβολισμό.

Αν θέλουμε να διαφορίσουμε μια συνάρτηση f(x) προχωρούμε ως εξής:  παίρνουμε κάποιο x1 διαφορετικό από το x και αφαιρούμε την έκφραση f(x) από την f(x1). Ας το ονομάσουμε αυτό  F(x, x1)=f(x1)-f(x), που είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, x και x1. Εκφράζουμε τώρα την F(x, x1), αν είναι δυνατό, με τη μορφή (x- x)· G(x, x1). Τέλος, στη συνάρτηση G, θέτουμε x1=x και ονομάζουμε G(x, x1)=f΄(x) την παράγωγη συνάρτηση.  Μ' αυτόν τον τρόπο αποφεύγουμε όλες τις δυσκολίες με τις "απειροελάχιστες ποσότητες." Τώρα, τα αινιγματικά εκείνα διαφορικά έχουν νόημα μόνο στη σχέση df(x)=f΄(x)dx. (Ο Μαρξ θεωρεί ανεπαρκή αιτιολόγηση ότι η G είναι πάντα συνεχής στο x1=x).

Για να διευκρινήσουμε αυτή τη διαδικασία με ένα απλό παράδειγμα, ας πάρουμε την f(x)=x στην 3η, οπότε

x1 στην τρίτη - x στην τρίτη = (x1 - x) (x τετράγωνο+x1x+x τετράγωνο)

κι έτσι

G(x, x1) = x1 τετράγωνο+x1x+x τετράγωνο,

που δίνει

f΄(x)=G(x, x)=3x τετράγωνο.

Θα χάναμε όμως όλη την ουσία, αν δεν παίρναμε σοβαρά υπόψη μας την παρατήρηση του Μαρξ στην αρχή του πρώτου χειρογράφου. "Κάνοντας πρώτα διαφόριση και μετά αναιρώντας την οδηγούμαστε κυριολεκτικά στο τίποτα. Όλη η δυσκολία στην κατανόηση της πράξης της διαφόρισης (όπως και στην άρνηση της άρνησης γενικά) βρίσκεται ακριβώς στο να διακρίνουμε σε τι διαφέρει από μια τέτοια απλή διαδικασία και για αυτό οδηγεί σε πραγματικά αποτελέσματα." Ο Μαρξ αναφέρεται στις πράξεις σύμφωνα με τις οποίες κάνουμε πρώτα το x1 διαφορετικό από το x, και στη συνέχεια κάνουμε πάλι το x1 ίδιο με το x. Γιατί μόνο μέσα από τη διπλή αυτή άρνηση καταγράφεται η πραγματική μεταβολή της f(x) στην παράγωγο f΄(x). Αυτή είναι η ιδέα που εκφράζει ο Χέγκελ (και αναφέρει ο Έγκελς στο γράμμα του προς τον Μαρξ που παραθέσαμε παραπάνω) όταν λέει ότι "ο λογισμός δεν ενδιαφέρεται για τα μεταβλητά μεγέθη σαν τέτοια αλλά για τις σχέσεις των δυνάμεων...η ποσότητα αποκτάει πραγματικά την πληρότητά της μέσα σε μια ποιοτική πραγματικότητα· προϋποτίθεται ως πραγματικά άπειρη" (Επιστήμη της Λογικής, σ. 253).

Τα σχόλια του Χέγκελ πάνω στο λογισμό έγιναν τη στιγμή ακριβώς που τα μαθηματικά ήταν έτοιμα να κάνουν μια νέα προσπάθεια για να αντιμετωπίσουν αυτά τα ζητήματα (Η Επιστήμη της Λογικής εκδόθηκε το 1813). Τα επόμενα 70 χρόνια, οι βασικές έννοιες της συνάρτησης, του ορίου και του αριθμού μετασχηματίστηκαν τελείως. Αυτές οι νέες ιδέες δεν ήταν όμως γνωστές στον Μαρξ.

[...]

6. Μεταγενέστερες εξελίξεις

[...]

Στον αιώνα μας, η αναζήτηση μιας αδιαμφισβήτης βάσης της μαθηματικής επιστήμης έχει προκαλέσει την πιο οξεία διαμάχη. Στην προσπάθεια να ξεπεραστούν τα παράδοξα του απείρου, δυο αντίθετες τάσεις έχουν αρχίσει πόλεμο μεταξύ τους. Από τη μια μεριά στέκουν οι φορμαλιστές, οι οποίοι προσπαθούν διαρκώς να βλέπουν τα μαθηματικά σαν παιγνίδι που παίζεται με αόριστα σύμβολα -- σύμβολα που δεν έχουν περισσότερο νόημα από ό,τι στο σκάκι. Διατυπώνοντας τους κανόνες του παιγνιδιού αυτού με τη μορφή συνεπώ αξιωμάτων, γίνεται δυνατή η επεξεργασία όλων των σχέσεων ανάμεσα στα στοιχεία που επινοούνται για το παιγνίδι. Αργότερα στα 1931, προκλήθηε εντυπωσιακή σύγχυση με το θεώρημα του Γκέντελ, ο οποίος απέδειξε ότι το παιγνίδι που ονομάζεται αριθμητική μπορεί να δώσει σωστά διατυπωμένα προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν μέσα στο παιγνίδι.

Αντιμέτωποι με τους φορμαλιστές βρίσκονται οι ενορατικοί, με ηγέτες τον Μπρόουερ και το Χέυτιγκ που οι ρίζες τους τους πηγαίνουν πίσω ως τον Καντ. Γι' αυτούς, τα μαθηματικά είχαν στη βάση τους συγκεκριμένες έννοιες που δεν μπορούν να αναλυθούν και που δίνονται a priori. Το άπειρο δεν βρισκόταν ανάμεσα σ' αυτές τις έννοιες, και τα μαθηματικά έπρεπε πάλι να οικοδομηθούν, αφού πρώτα θα εξαφάνιζαν τέτοιου είδους τερατουργήματα.

7. Τι είναι η μαθηματική γνώση;

Οι διαμάχες αυτές έδειχναν να ενδιαφέρουν μόνο εκείνους που συμμετείχαν στο μαθηματικό παιγνίδι. Στην πραγματικότητα ωστόσο, η κρίση που ακόμα διαβρώνει τα θεμέλια της φυσικής στρέφεται ακριβώς στις αντιφάσεις του διακριτικού και του συνεχούς, του πεπερασμένου και του απείορυ. Μερικοί φυσικοί έχουν φτάσει να θεωρούν πως κάποια μορφή "περατοκρατικών μαθηματικών" θα ήταν ένας τρόπος να ξεπεράσουν τις δυσκολίες τους.

Το έργο του Μαρξ πάνω στο λογισμό δεν αφορά μόνο τα προβλήματα των απειροστών. Αφού εξηγήσει τη δική του "αλγεβρική μέθοδο" διαφόρισης, κάνει ένα ακόμα βήμα που τον φέρνει πολύ κοντά στο πνεύμα των μαθηματικών του 20ού αιώνα. Περιγράφει την παραπέρα ανάπτυξη του λογισμού με τη βοήθεια μιας αντιστροφής ρόλων, κατά την οποία τα σύμβολα του διαφορικού συντελεστή μετασχηματίζονται σε "τελεστικούς τύπους" (Operationsformel), που ικανοποιούν "τελεστικές εξισώσεις." Αυτές οι ιδέες δίνουν τη βάση για την υλιστική σύλληψη της μαθηματικής γνώσης, που έχει τεράστια σημασία για τον διαλεκτικό υλισμό στο σύνολό του. Για το μηχανιστικό υλισμό, οι τυπικές αφαιρέσεις εγκυμονούν τεράστιους κινδύνους. Παίρνονται απομονωμένες από την κίνηση, από τη ζωντανή αίσθηση στην κοινωνική πρακτική, και ολόκληρη η διαδικασία κοιτάζεται αντίστροφα, μάλλον όπως το αρνητικό μιας φωτογραφίας· γιατί το αφηρημένο σύμβολο ταυτίζεται λαθεμένα με το πραγματικό αντικείμενο της γνώσης, ενώ το συγκεκριμένο αντικείμενο θεωρείται απλά ως υπόβαθρο.

Τα σύγχρονα μαθηματικά έχουν γενικεύσει τις διαδικασίες της άλγεβρας σε υψηλά επίπεδα αφαίρεσης, όπου τα αντικείμενα της επιστήμης φαίνονται τελείως αόριστα. Το μόνο που γνωρίζουμε γι' αυτά είναι οι νόμοι που καθορίζουν τις μεταξύ τους σχέσεις, και αυτοί φαίενται να προσδιορίζονται από την επιθυμία του μαθηματικού. Οι εμπειρικοί τότε προβληματίζονται από τη φανερή ταύτιση που κάνει ακριβώς τις αφηρημένες μορφές να εκφράζουν τις σχέσεις πραγματικών διαδικασιών. Η προσέγγιση του λογισμού που επιχειρεί ο Μαρξ δείχνει όμως τη διαλεκτική σχέση ανάμεσα στα αφηρημένα σύμβολα και τη μεταβολή του υλικού, από το οποίο έχει προκύψει η αφαίρεσή τους.

[...]

Έναν αιώνα πριν, ο Μαρξ και ο Έγκελς έδειξαν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την ανάπτυξη της φυσικής επιστήμης και των μαθηματικών, ακριβώς επειδή ήξεραν πως ο διαλεκτικός υλισμός μπορούσε να ζήσει και να αναπτυχθεί μόνο αν στηριζόταν στις πιο σύγχρονες ανακαλύψεις της επιστήμης και ενδιαφερόταν για τα προβλήματα που αυτές συνεπάγονταν σχετικά με τις σταθερές απόψεις για την πραγματικότητα, τις απόψεις της "κοινής λογικής." Σήμερα αυτό είναι ακόμα πιο ζωτικό από τότε που ο Έγκελς ετοίμαζε τα άρθρα του ενάντια στον Ντύριγκ και τις σημειώσεις του πάνω στη διαλεκτική της φύσης και ο Μαρξ έγραψε αυτά τα μαθηματικά χειρόγραφα.

Όταν παρατηρούμε αυτό το έργο συνολικά, μας εντυπωσιάζει ένα άλλο κοινό χαρακτηριστικό: ο τρόπος με τον οποίο ο Μαρξ και ο Έγκελς επιστρέφουν στον Χέγκελ για διευκρινήσεις. Ο μαρξισμός είναι η άρνηση του απόλυτου ιδεαλισμού -- αλλά με την χεγκελιανή έννοια της ταυτόχρονης κατάργησης και διατήρησης.

[...]

Έτσι, αυτά τα χειρόγραφα μπορούμε να τα δούμε ως την τελευταία επιστροφή του Μαρξ στον Χέγκελ. Θα' πρεπε να αποτελέσουν ένα κίνητρο για τους σημαντικούς μαρξιστές να συνεχίσουν τον αγώνα για τη μέθοδο του διαλεκτικού υλισμού σε συνδυασμό με τις πιο πρόσφατες εξελίξεις των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών, μέσα από μια ακόμα πιο βαθιά διαμάχη με τον Χέγκελ.

18 σχόλια:

  1. Κατ'αρχάς το παράδειγμα με G, όπως το δίνει ο CS, ανήκει στη θεωρία ομάδων (πολύ απλά, θεωρία που περιγράφει τους τρόπους που κάτι είναι όμοιο με τον εαυτό του), και δεν μας λέει τίποτε συγκεκριμένο, όπως παρουσιάζεται, για το άπειρο (μικρό ή μεγάλο), γιατί ο μαθηματικός χειρισμός προσανατολίζεται προς το τελικό όριο προς το οποίο τείνει η υπό εξέταση ποσότητα. Αν κάνω λάθος, εδώ είμαι να μου τα πείτε.

    Για άπειρο, το μικρότερο δυνατό άπειρο, και τα όσα έπονται εδώ:
    http://www.xamuel.com/levels-of-infinity/


    «ο Μαρξ συνέλαβε την άπειρη --->εμπειρία<--- της ανθρωπότητας ως την ανώτατη μορφή της άπειρης κίνησης της ύλης»

    Η διατύπωση είναι Vicoism (cf. Jameson) και αμφιβάλλω αν προσφέρει τίποτε.

    οι φορμαλιστές, οι οποίοι προσπαθούν διαρκώς να βλέπουν τα μαθηματικά σαν παιγνίδι---> Μόνο που ο Γκέντελ είναι «πλατωνιστής», και δεν είναι οπαδός τού ύστερου Βιτγκενστάιν. Για άλγεβρα Χέιτινγκ, άλγεβρες-λογικές τού «μπαντιουϊκών» κόσμων, και όχι τής οντολογίας, κάποια βασικά από το σχετικό φορμαλισμό τα είχα μεταφράσει εδώ (έχει και κριτική Χάιντεγκερ, κάνει επομένως τζιζ, μολύνει μυαλά, κ.ο.κ.· τα υπόλοιπα τα διαβάζετε στις «Λογικές» ή κάνετε registration σε πανεπιστημιακό τμήμα):

    http://waltendegewalt.wordpress.com/2011/06/26/a-badiou%e2%80%94%ce%b3%ce%b9%ce%b1-%cf%84%ce%bf-%c2%ab%ce%b1%ce%bd%ce%bf%ce%b9%ce%ba%cf%84%cf%8c%c2%bb/
    http://waltendegewalt.wordpress.com/2011/07/01/%ce%b1-%ce%bc%cf%80%ce%b1%ce%bd%cf%84%ce%b9%ce%bf%cf%8d%e2%80%94%ce%b3%ce%b9%ce%b1-%cf%84%ce%bf-%c2%ab%ce%b1%ce%bd%ce%bf%ce%b9%ce%ba%cf%84%cf%8c%c2%bb-ii-%ce%b1%ce%84-%ce%bc%ce%ad%cf%81%ce%bf%cf%82/

    ΥΓ Κατά βάθος, έχω κουραστεί να εξηγώ και να μεταφράζω. Θέλετε να κολήσετε ταμπέλες «αστικό», «ιδεαλιστικό», «αντιδραστικό», «θεολογικό», κ.ο.κ. σε βιβλία και να τα πετάξετε από το παράθυρο, δικαίωμα σας «δημοκρατία» έχετε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Χωρίς να αντιλαμβάνομαι ιδιαίτερα το βάθος και τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της διάμαχης για το "άπειρο" και το πεπερασμένο, από εντελώς φορμαλιστική άποψη το παράδειγμα με τη συνάρτηση G (και η σχέση της με την παράγωγο της συνάρτησης f) που αναφέρεται στο post ΔΕΝ ανήκει στη θεωρία ομάδων. Αποτελεί απλά μια απόπειρα του υπολογισμού του ρυθμού μεταβολής απλών αλγεβρικών εκφράσεων, της ποσοτικοποίησης δηλαδή της μεταβολής μιας ποσότητας f που εξαρτάται από κάτι, έστω x, που μπορεί να μεταβάλεται.

      Διαγραφή
    2. Χωρίς να αντιλαμβάνομαι ιδιαίτερα το βάθος και τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της διάμαχης-->

      Εγώ όμως αντιλαμβάνομαι το βάθος και το εύρος τής ειρωνείας.

      Πολύ σύντομα γιατί είναι αργά και είμαι κουρασμένος: από τα σχόλια

      Πασατέμπος: Αποτελεί απλά μια απόπειρα του υπολογισμού
      Jose: Η προσέγγισή του στο διαφορικό λογισμό [δεν] είναι γεωμετρική.
      JKL: πως μπαίνουν μέσα οι σχέσεις δυνάμεων

      Και προσθέτω, χωρίς να γνωρίζω αν το παράδειγμα χρησιμοποιείται στο πρωτότυπο, τα εξής: τι νόημα έχει η φράση: «Εκφράζουμε τώρα την F(x, x1), αν είναι δυνατό (κι αν δεν είναι;), με τη μορφή (x1 - x)· G(x, x1).» (το παράδειγμα, factoring Polynomials of Degree 3 και επιπλέον x_1=x, (όπου η ισότητα δίνει το όριο και μηδενίζει); Έχω επομένως την εντύπωση, χωρίς να έχω διαβάσει το πρωτότυπο, ότι άλλο πράγμα επιχειρείται να εκφραστεί εδώ (ίσως ότι «το είναι ενσωματώνεται πλήρως στην διαδικασία πραγμάτωσης με το πέρασμά του μέσω τού αρνητικού.»)

      Αυτά.

      Διαγραφή
    3. Πάντα είναι δυνατό να οριστεί η G(x, x1) για x1 και x που δεν ταυτίζονται, επομένως είναι πάντα δυνατό να εκφραστεί η F μέσω της G υπό την προϋπόθεση ότι x1 και x δεν ταυτίζονται. Αλλά αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η συμπεριφορά της G όταν το x1 τείνει να ταυτιστεί με το x. Η "τυπική λογική" (= φορμαλιστική / αλγεβρική προσέγγιση) δεν απαγορεύει στη G να κάνει ό,τι γουστάρει όταν x1 = x, δηλαδή δε μας λέει τίποτα. Έτσι λοιπόν "οδηγούμαστε κυριολεκτικά στο τίποτα". Μόνο η δυναμική προσέγγιση (το x1 τείνει στο x, το x1 ταυτίζεται οιονεί με το x, το x1 είναι KAI δεν είναι x κλπ.) υποβάλλει την ιδέα ότι η G(x, x) ούτε αυθαίρετη είναι και συγκεκριμένο νόημα έχει. Φυσικά, ο φορμαλισμός (π.χ. o εψιλοντικός ορισμός του ορίου που αναφέρεται στα σχόλια) αποκαθιστά τη μαθηματική αυστηρότητα. Χωρίς όμως τη διαλεκτική προσέγγιση, η ίδια η έννοια του ορίου θα ήταν αδιανόητη και ο αυστηρός (= τυπικός) ορισμός της θα ήταν contradictio in terminis.

      Δεν είναι τυχαίο πως όταν η έννοια του ορίου δεν είχε ακόμα διασαφηνιστεί, ο ολοκληρωτικός λογισμός είχε επινοηθεί προ πολλού (Αρχιμήδης) και ο διαφορικός λογισμός, πολύ αργότερα από τους Newton και Leibniz, αναπτύσσονταν μέσα από τα μυστηριώδη dy και dx, τα ατελώς ορισμένα και φορτωμένα με μπόλικη μεταφυσική.

      Είναι ενδιαφέρον ότι η θέση στην οποία μας οδηγεί η διαλεκτική, δηλαδή "το G(x,x) υπάρχει και έχει νόημα", ισχύει κατ' εξαίρεση και όχι κατά κανόνα: Για τις "περισσότερες" συναρτήσεις, η G(x, x) δεν ορίζεται με συνεπή τρόπο. Όμως η κλάση των "εξαιρετικών" συναρτήσεων για τις οποίες η G(x, x) υπάρχει, αν και "μηδαμινού μεγέθους" σε σχέση με το "όλον", είναι αρκετά πλούσια ώστε να περιέχει πρακτικά όλες τις συναρτήσεις που αναπαριστούν συσχετίσεις μεγεθών στην κλίμακα της δικής μας εποπτείας - και όχι μόνον.

      waltendegewalt, νομίζω πως η θεωρία ομάδων και ο Galois δεν έχουν άμεση σχέση με όσα συζητάμε, ακριβώς επειδή η άλγεβρα (π.χ. θεωρία ομάδων) και η ανάλυση (π.χ. απειροστικός λογισμός) μπορούν να ειδωθούν ως ένα ζεύγος αντιθέτων.

      Άλγεβρα: Δομή, συμμετρία, ταξινόμηση, ιεραρχία, σχέσεις ομοιότητας / ταυτότητας / ισοδυναμίας. Στατικότητα. Αυστηρή διάκριση ποσοτικού και ποιοτικού, πεπερασμένου και απείρου, ακριβούς και προσεγγιστικού.

      Ανάλυση: Λειτουργία, διαφοροποίηση, διαταραχή, κίνηση. Εξέλιξη. Παντού διαπλοκή ποσοτικού και ποιοτικού, πεπερασμένου και απείρου, ακριβούς και προσεγγιστικού.

      Όμως η διαλεκτική σχέση των κλάδων, η πηγή της δύναμης και της ομορφιάς των μαθηματικών, συχνά εκδηλώνεται σε πολύ μεγαλύτερο βάθος απ' ότι περιμένουμε και γι' αυτό δεν παύει να μας εκπλήσσει. Τώρα, αν αυτό οδηγεί σε μεταφυσικές ανησυχίες, μόνο τα μαθηματικά δε μας φταίνε...

      gdmn1973

      Διαγραφή
    4. Να μην ταλαιπωρώ τον Αντώνη, πολύ σύντομα και το τελευταίο από μένα:

      «Πάντα είναι δυνατό να οριστεί η G(x, x1) για x1 και x που δεν ταυτίζονται, επομένως είναι πάντα δυνατό να εκφραστεί η F μέσω της G υπό την προϋπόθεση ότι x1 και x δεν ταυτίζονται»: ---> Απλά λες ότι όταν έχουμε ισότητα και 0*G, η G είναι μηδενική συνάρτηση. Τίποτε παραπάνω. Εκείνο που δεν προσέχεις είναι η μεταγραφή τού «διαστήματος» (x1,x) σε πολυώνυμο (x1^3 - x^3). Γιατί; Και γιατί όχι x1^6 - x^6, κ.ο.κ.;

      Μια παρένθεση, δεν υποστηρίζω ότι πρόκειται για μαθηματική ανοησία, αλλά για πρόβλημα ερμηνείας.

      Δεν έχω το πρωτότυπο και δεν ξέρω αν χρησιμοποιείται αυτό το παράδειγμα, αλλά στην παραγοντοποίηση πολυωνύμων δεν είναι «κανόνας» να προκύπτει τέτοιος κοινός παράγοντας (x1-x). Το ένστικτο μού λέει ότι αν όντως το παράδειγμα υπάρχει στο πρωτότυπο, η ιδιορρυθμία στη χρήση του έγκειται στο ότι δεν είναι σαφές το σημείο αναφοράς. Γνώμη μου, ότι πρόκειται για φιλοσόφημα εκφρασμένο μαθηματικά και όχι για δήλωση ή διαπίστωση γενικής σημασίας σε σχέση με το διαφορικό λογισμό.

      Αυτά.

      Διαγραφή
    5. Απλά λες ότι όταν έχουμε ισότητα και 0*G, η G είναι μηδενική συνάρτηση. Τίποτε παραπάνω. Όχι, για x1 = x η G δεν είναι απαραίτητα μηδενική: Δεν ορίζεται πλέον. Ο τυπικός (αλγεβρικός) ορισμός της G καταρρέει για x1 = x, δηλαδή ακριβώς εκεί που μας ενδιαφέρει και μόνο διαλεκτικά μπορούμε να αντιληφθούμε "τι κάνει" η G, ώστε μετά (από μερικούς αιώνες) να προχωρήσουμε στον κατάλληλο αυστηρό ορισμό της G(x, x) μέσω της έννοιας του ορίου, να ονομάσουμε τη G(x, x) παράγωγο της f στο x και να διακρίνουμε πότε αυτή η παράγωγος υπάρχει (όχι πάντα).

      Εκείνο που δεν προσέχεις είναι η μεταγραφή τού «διαστήματος» (x1,x) σε πολυώνυμο (x1^3 - x^3). Γιατί; Γιατί το επιβάλλει η μορφή της f του παραδείγματος, f(x) = x^3

      ...αλλά στην παραγοντοποίηση πολυωνύμων δεν είναι «κανόνας» να προκύπτει τέτοιος κοινός παράγοντας (x1-x) Προκύπτει για f(x) = x^n, όχι βέβαια για οποιαδήποτε f, ούτε καν για τις πολυωνυμικές f εν γένει. Η μορφή της f του παραδείγματος διαλέχτηκε για να είναι "βολική", αλλά η μαθηματική διαίσθηση που πηγάζει από τέτοια παραδείγματα είναι πολύτιμη.

      ...πρόκειται για φιλοσόφημα εκφρασμένο μαθηματικά και όχι για δήλωση ή διαπίστωση γενικής σημασίας σε σχέση με το διαφορικό λογισμό Συμφωνώ απόλυτα. Η διαπίστωση γενικής σημασίας είναι πως η ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού χωρίς την ικανότητα για διαλεκτική σκέψη θα ήταν απλώς αδύνατη. Το μπέρδεμα των προ-εννοιών του απειροστικού λογισμού με το μυστικισμό είναι δευτερεύον ζήτημα, όπως αποδεικνύει η ίδια η ιστορία τους. Όταν αυτές αναπτύχθηκαν αρκετά, απαλάχτηκαν από τη μαγεία, ορίστηκαν αυστηρά και τυπικά, προάχθηκαν σε μαθηματικές έννοιες που σήμερα θεωρούνται στοιχειώδεις. Αυτό που εξοστρακίστηκε ήταν η ψευδοέννοια του απείρου. Σήμερα επιβιώνει μόνο ως συμβολισμός, πολύτιμος διαισθητικά και λογιστικά, αλλά το άπειρο ΔΕΝ ορίζεται ως μαθηματική έννοια.

      gdmn1973

      Διαγραφή
    6. (1) Για το ένα σύμφωνοι.

      (2) Το δύο αυτονόητο, αλλά γι'αυτό ανέφερα χ_1^6 ή οποιαδήποτε άλλη παρόμοια έκφραση όπου δεν προκύπτει παράγοντας (x_1-x)

      (3) όχι βέβαια για οποιαδήποτε f, ούτε καν για τις πολυωνυμικές f εν γένει.
      Ε, ακριβώς, αυτό λέω από την αρχή. Οπότε, είτε θα θεωρήσεις την «διαίσθηση» βλακώδη ανοησία είτε θα της δώσεις άλλο περιεχόμενο, όπως κάνεις στο 4

      (4) «Αυτό που εξοστρακίστηκε ήταν η ψευδοέννοια του απείρου. Σήμερα επιβιώνει μόνο ως συμβολισμός, πολύτιμος διαισθητικά και λογιστικά, αλλά το άπειρο ΔΕΝ ορίζεται ως μαθηματική έννοια.»

      Δεν μιλάς σοβαρά τώρα: ώστε, το «άπειρο» είναι ανύπαρκτη-φανταστική κατασκευή των μαθηματικών επιστημόνων; Αυτό λες; Δηλαδή, μόνο οι μαθηματικές τεχνικές-έννοιες που έχουν «διαισθητικό» αντίκρισμα ή πρακτική εφαρμογή είναι πραγματικές; Οι υπόλοιπες είναι χίμαιρες; Η «διαίσθηση» είναι η βάσανος τής ύπαρξης; Ποιος σας τα μαθαίνει αυτά τα κατασκευστικά-εμπειριοκριτικά;

      Διαγραφή
    7. Και ένα ακόμα για την «ψευδοέννοια» τού απείρου. Αυτή ήταν και η οπτική τού Βιτγκενστάιν, όπου το άπειρο [ω, άλεφ0] ως το «άφατο» όριο (τού κόσμου και «γλώσσας») ταυτιζόταν με το «υποκείμενο» (τής «διαίσθησης» στην οποία αναφέρεσαι). Στα αγγλικά υπάρχει η έκφραση «strange bedfellows», και περιγράφει κάλλιστα αυτή τη συνεύρεση τού εμπειριοκριτικισμού, διαισθητισμού, τής θεωρίας των γλωσσικών παιγνίων («χίμαιρες»), τού κατασκευαστισμού, τού αντι-οικουμενισμού και πολιτισμικού σχετικισμού, τής χαϊντεγγγεριανής καταδίκης τής «μεταφυσικής» κ.ο.κ.

      Διαγραφή
  2. "οι φορμαλιστές, οι οποίοι προσπαθούν διαρκώς να βλέπουν τα μαθηματικά σαν παιγνίδι---> Μόνο που ο Γκέντελ είναι «πλατωνιστής», και δεν είναι οπαδός τού ύστερου Βιτγκενστάιν."

    Σωστό. Και για τον Καντ δεν είμαι σίγουρος ότι έχει δίκαιο ο Smith.

    Περί βαρεμάρας με ορισμένα πράματα: Tell me about it!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. "Κατ'αρχάς το παράδειγμα με G, όπως το δίνει ο CS, ανήκει στη θεωρία ομάδων" ...

    Όχι: απλά πρόκειται για την παράγωγο της f που εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο σημείο x.

    Τον Μαρξ εκείνη την εποχή τον απασχόλησε ο τρόπος με τον οποίον μπορεί να εκληφθεί η έννοια του μαθηματικού ορίου και η νομιμοποίηση στη χρήση των διαφορικών πέραν της μεθοδολογικής τους αξίας. Η προσέγγισή του στο διαφορικό λογισμό είναι αλγεβρική, όχι γεωμετρική. Οι γνώσεις του περιορίζονται κυρίως σε βασικά συγγράμματα των μαθηματικών δημοσιευμένα 50 χρόνια πριν. Προφανώς δεν ήταν σε θέση να παρακολουθήσει από κοντά την ανάπτυξη των αυστηρών και καλά θεμελιωμένων μαθηματικών εννοιών από τον Cauchy και έπειτα.

    Από τα μαθηματικά χειρόγραφα που δεν προορίζονταν για δημοσίευση προβάλλει η αξιοθαύμαστη επιμονή του να καταλάβει βαθιά διάφορα θέματα στα οποία δεν είχε την (προ-)εκπαίδευση του ειδικού όσο και η ικανότητά του για πρωτοτυπία.

    "... (πολύ απλά, θεωρία που περιγράφει τους τρόπους που κάτι είναι όμοιο με τον εαυτό του)"
    Άσχετο ... αλλά δεν πειράζει.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Τσ, όχι, δεν λέει αυτό το απόσπασμα τού CS.

      http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois

      Διαγραφή
  4. "Αυτή είναι η ιδέα που εκφράζει ο Χέγκελ (και αναφέρει ο Έγκελς στο γράμμα του προς τον Μαρξ που παραθέσαμε παραπάνω) όταν λέει ότι "ο λογισμός δεν ενδιαφέρεται για τα μεταβλητά μεγέθη σαν τέτοια αλλά για τις σχέσεις των δυνάμεων..."

    Μπορει να ξεχνάω κάτι, αλλά πως μπαίνουν μέσα οι σχέσεις δυνάμεων?Το διαφορικό είναι στην ουσία το αποτέλεσμα της αφαίρεσης 2 απείρως κοντινών αριθμών.

    JKL

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. και πολλά διαφορικά στην σειρά δείχνουν τον ρυθμό μεταβολής της σειράς των "κοντινών αριθμών" - τα μεταβλητά μεγέθη δηλαδή.

      Ο ρυθμός μεταβολής ενός μεταβαλλόμενου μεγέθους (π.χ. η επιτάχυνση ενός οχήματος) είναι εξίσου σημαντικός (σημαντικότερος κατά τον Ενγκελς) από την γνώση της ταχύτητας του, και αυτή με την σειρά της πιό σημαντική από την θέση του οχήματος σε χρόνο τ. Μάλλον γιατι είναι πιό γενικά και ορίζουν καλύτερα την τάση.

      Είναι η πρώτη φορά που ακούω για αυτά τα χειρόγραφα του Μαρξ, αλλά διαβάζοντας

      http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2009/Sep09/TechPaperFahey.pdf

      και

      http://ac.els-cdn.com/0315086077900581/1-s2.0-0315086077900581-main.pdf?_tid=a67065b8-aedc-11e3-acc4-00000aacb35d&acdnat=1395175026_0ba75347b62cde4d206c4e5c049728ee

      νομίζω καταλαβαίνω ότι θα ηταν εκνευρισμένος με τις διάφορες διατυπώσεις του απειροστικού λογισμού που δεν εξηγούσαν τα πράγματα όπως θα ήθελε το ένστικτο του.

      Πάντως σημαντικότατο στοιχείο είναι ότι οι Αγγλoi εκείνο τον καιρό είχαν αποκοπεί ηθελημένα από την μαθηματική δραστηριότητα στην Ευρώπη λόγω της βεντέττας μεταξύ Liebnitz - Newton (http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz%E2%80%93Newton_calculus_controversy) και έτσι ο Μαρξ ήταν κάπως απομονωμένος από τις τελευταίες ιδέες στο πεδίο.

      ΑΧΠ

      Διαγραφή
    2. Ναι αλλά εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω που κολλάνε οι σχέσεις δυνάμεων. Θα μπορούσε να το πει κανείς αυτό για πολυωνυμικές συναρτήσεις, όπου (ως γνωστόν) κάθε παραγώγιση είναι και μια δύναμη χαμηλότερα. Αλλά η πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι μία κατηγορία από τις πολλές...

      Σε κάθε περίπτωση καταλαβαίνω την ένσταση του Μαρξ για την "μετφυσική" του διαφορικού. Το όριο, και κατ' επέκταση η συνέχεια, η παραγώγιση και η ολοκλήρωση ορίζονται πλεόν χωρίς την ανάγκη του "απείρου" (dx, oo), αλλά με τα γνωστά ε>0 και δ>0.

      JKL

      Διαγραφή
    3. ίσως με την μετατροπή κάθε συνάρτησης (που ορίζονται οι παραγώγοι της σε ένα σημείο, είναι συνεχής) σε πολυώνιμη σειρά κατά Taylor;

      πιό πάνω εννούσα Χέγκελ, όχι Ενγκελς.

      ΑΧΠ

      Διαγραφή
    4. Αν υποθέσουμε ότι ισχύει αυτό, τότε το παρακάτω που αναγνωρίζει ο Ενγκελς για Χεγγελ που κολλάει?

      "Ο γερο-Χέγκελ μάντεψε πολύ σωστα όταν είπε ότι βασική προϋπόθεση της διαφόρισης είναι οι μεταβλητές να είναι υψωμένες σε διαφορετικές δυνάμεις και τουλάχιστον μία απ' αυτές να είναι υψωμένη τουλάχιστο στη...δεύτερη δύναμη."

      JKL

      Διαγραφή
    5. Θα απαντήσω με μια εικασία: Νομίζω για να ταιριάζει με την μεθοδολογία τους:

      "...Εκφράζουμε τώρα την F(x, x1), αν είναι δυνατό, με τη μορφή (x1 - x)· G(x, x1)."

      Δηλαδή πρέπει να βγει κοινός παράγοντας το (χ1-χ). Αν καμιά από τις μεταβλητές δεν είναι υψωμένη στην 2η ή μεγαλύτερη δύναμη τότε το G(x, x1) μένει μια σταθερά μετά την "διαφόριση".
      Δεν μπορώ να εξηγήσω την προϋπόθεση "...να είναι υψωμένες σε διαφορετικές δυνάμεις...", εκτός αν υποθέσω ότι ήταν απαραίτητο για να βγει παράγοντας το (χ1-χ) ώστε να πετύχει η "διαφόριση". Αν το δούμε αυστηρά αλγεβρικά το θέμα, τότε δεν κάνει νόημα γιατί μεταβλητές υψωμένες στην ίδια δύναμη θα προσθέτονταν και θα γίνονταν μία. π.χ. 3χ2 + 4χ2 = 7χ2


      Προσωπικά θα περίμενα (και εκεί πήγε το μυαλό μου αρχικά με τα προηγούμενα σχόλια) ο Μαρξ να χρησιμοποιούσε την δύναμη του απειροστικού λογισμού (calculus) για να εξερευνήσει, έστω και πολύ "πρωτόγονα" με τα εργαλεία της εποχής και την "μαθηματική απομόνωση" της Αγγλίας, διάφορα οικονομικά και κοινωνικά μοντέλλα στην βάση διαφορικών εξισώσεων (δυναμικών συστημάτων) και να κάνει προβλέψεις για αυτά κτλ. Π.χ. οι σχέσεις θέση, ταχύτητα και η επιτάχυνση κινητού δίνονται από τέτοιες διαφορικές εξισώσεις από τον Νεύτωνα.


      Δεν γνωρίζω αν υπάρχει σχετική δουλειά του Μαρξ ή Εγκελς σε αυτή την κατεύθυνση;

      ΑΧΠ

      Διαγραφή
    6. Αυτό όμως έχει νόημα μόνο για πολυωνυμικές συναρτήσεις. Και ακόμα και πολυωνυμικές να έχουμε, πάλι μια συνάρτηση με μεγιστοτάξιο υψωμένο στην πρώτη διαφορίζεται, απλά δίνει σταθερή συνάρτηση. Εκτός και αν το ζήτημα να έχουμε μεταβλητά μεγέθη είναι το επιδιωκόμενο ντε και καλά. Επίσης, γιατί να μην αντιστρέψουμε αυτή την οπτική και να πούμε (σε περίπτωση που δεχτούμε αυτό με τις δυνάμεις ως γενικό) ότι κάθε μεταβολή ΜΠΟΡΕΙ να εκφραστεί με σχέσεις δυνάμεων (όπως μια σειρά Taylor πχ)?

      JKL

      Διαγραφή